Kurt Gödel, no sólo ha sido el más brillante lógico del Siglo XX y quizá de la historia, sino el que más desconcierto ha sembrado. Sus descubrimientos establecen auténticas e insalvables limitaciones al poderío de la matemática y de la mente humana. Nació en 1906 en Brünn (Imperio Austro-húngaro), ahora Brünn República Checa. Falleció en 1978 en Princeton, New Jersey, EE.UU.
Gödel estudió en la Universidad de Viena obteniendo su doctorado en 1929 con una tesis sobre la "Suficiencia del Cálculo Lógico de Primer Orden", su primer logro de importancia excepcional (y de gran densidad intelectual, sólo 11 páginas). En 1930 entró a formar parte del claustro de profesores de la Universidad de Viena.
Gödel se fue interesando progresivamente en Teoría de Números y, después, en Lógica Matemática durante estos años. En 1930, Gödel se doctoró en Matemáticas dirigido por H. Hahn, un notable matemático miembro del Círculo de Viena.
En 1931, Kurt Gödel fue capaz de responder a dos de las preguntas formuladas por David Hilbert en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900, demostrando que cualquier sistema formal suficientemente potente es inconsistente o incompleto. Así mismo probó que si un sistema de axiomas es consistente, esta consistencia no puede demostrarse por sí misma.
Con sólo 25 años, publicó su logro principal que hoy es conocido como el TEOREMA DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL, posiblemente el descubrimiento matemático más importante del Siglo XX (igualmente denso, sólo 25 páginas).
En marzo de 1938 Austria fue anexada a Alemania y en ese ambiente enrarecido Gödel, que siempre había evitado tomar posición política, tuvo dificultades porque parece que lo veían como un judío, que no era.
En 1940 Gödel llega a EEUU, incorporándose al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (donde ya era conocido por haber sido conferencista en dos ocasiones anteriores), que reunía en ese momento a lo más granado de los científicos europeos - Einstein, Weyl, von Neumann, Fermi, Ulam, Teller (von Neumann y Fermi trabajaron en la bomba atómica, Ulam y Teller en la bomba de hidrógeno), que habían tenido que huir de la pesadilla hitleriana. Con ellos pasó también definitivamente la vanguardia de la ciencia mundial, de Alemania y Europa a EE.UU. Allí en Princeton Gödel se quedaría el resto de su vida. En 1948 adquirió la nacionalidad estadounidense.
Ya establecido en EE.UU., produjo otro trabajo de enorme importancia que venía meditando desde 1938, titulado "Consistencia del Axioma de Elección y la HIPÓTESIS DEL CONTINÚO generalizada con los axiomas de la Teoría de Conjuntos"(1940).
Uno de sus amigos más cercanos en Princeton fue su vecino de oficina Albert Einstein, se tenían una gran estimación mutua y hablaban con frecuencia. No está claro cuánto influyó Einstein para que Gödel trabajara en Relatividad, pero ciertamente se ocupó creativamente de cosmología relativista, encontró soluciones sorprendentes a las ecuaciones del campo gravitatorio de la Relatividad General que determinan universos rotatorios y fascinantes en los que el tiempo pierde su sentido habitual.
El trabajo de Gödel inició nuevas ramas de estudio de la Lógica Matemática. Provocó una revolución de las filosofías matemáticas y más aún de las filosofías del conocimiento en general.
En 1951 recibió el primer Premio Einstein y en 1974 la Medalla Nacional de Ciencias. Fue miembro de la Academia Nl. De Ciencias de EE.UU., de la Royal Society, del Instituto de Francia, de la Royal Academy y miembro Honorario de la London Mathematical Society. Sin embargo, él rechazó la membresía de la Academia de Ciencias de Viena y más tarde cuando fue elegido Miembro Honorario de la misma también rechazó, igualmente rechazó la Medalla Nacional para científicos que Austria le ofreció.
A partir de 1955 le llovieron los premios y honores científicos. Tras tan importantes descubrimientos que han hecho de Gödel una figura casi mítica para lógicos y matemáticos, podría pensarse que su nombre fuera ampliamente conocido.
Pero la matemática no es una ciencia popular, según testimonio de Bourbaki cierto profesor universitario estadounidense afirmó en el curso de una conferencia - y en presencia del propio Gödel - que nada nuevo se había visto en lógica desde los tiempos de Aristóteles.
El Teorema de Incompletitud de Gödel.
En 1931 Gödel, con 25 años, publicó en una revista científica alemana un artículo que fue leído y entendido solamente por unos pocos matemáticos. Llevaba el impresionante título "Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Pricipia Mathematica y sistemas relacionados" (Principia Mathematica es el famoso libro escrito conjuntamente por Bertrand Russell (1872-1970) y Alfred N. Whitehead (1861-1949)).
Todo sistema axiomático contiene postulados o axiomas (proposiciones aceptadas como verdaderas sin necesidad de demostración) de las que se deducen, con ayuda de la lógica, otras proposiciones llamadas teoremas. El sueño de todo matemático es probar que su ciencia es consistente y completa. Consistente quiere decir que nunca se deducirán dos teoremas que estén en contradicción, que no se puede deducir la verdad y la falsedad de una misma proposición.
Y que el sistema sea completo significa que toda proposición que haya sido o pueda ser pensada sea susceptible, con las armas de deducción del sistema, de ser probada o refutada su veracidad.
Un sueño del que nos despertó cruelmente en 1931 Kurt Gödel, al demostrar que si se toma un sistema de axiomas lo suficientemente amplio - que contenga los axiomas de la aritmética como mínimo - siempre existirán proposiciones cuya certeza o falsedad será imposible demostrar, es decir serán proposiciones indecidibles. Aunque la proposición se cumpla en todos los casos observados, no nos garantiza que no falle en un próximo caso.
El Teorema de Gödel también implica, para desencanto de muchos, que las computadoras nunca podrán ser programadas para contestar toda pregunta matemática.
Cuando una proposición sea indecidible, podríamos incorporarla - la proposición o su negación - como un nuevo axioma (y ya no necesito demostración alguna) y asunto resuelto. ¡Pero habrá otra proposición indecidible en el nuevo sistema axiomático ¡
Esto de incorporar proposiciones indecidibles como nuevos axiomas ya se ha hecho en dos notables casos:
(1) El famoso postulado de Euclides. “. Por un punto exterior a una recta pasa una, y sólo una, paralela a ella". Su incorporación como axioma (lo que hizo Euclides) dio lugar a la Geometría Euclídea, la incorporación de sus negaciones dio lugar a las Geometrías No-Euclídeas (nombre creado por Gauss)
(2) La Hipótesis del Continuo, otro postulado indecidible, aceptado como axioma por Georg Cantor da lugar a la Teoría de Conjuntos Cantoriana. Y su negación a la Teoría de Conjuntos No-Cantoriana.
No solo probó que había inconsistencias en lo conocido, sino que también evidenció que la lógica tiene importantes limitaciones.
Este maravilloso científico es, además, una prueba de que la razón y la sinrazón pueden convivir perfectamente, tanto en una teoría, como en el propio ser humano.
Kurt Gödel era un hombre absolutamente brillante, pero también cargaba con convicciones completamente irracionales. Un genio paranoico en el que inteligencia y locura coexistían de manera simultánea. En otras palabras, lo que Kurt Gödel probó es que no todas las verdades matemáticas podían ser probadas. O, como lo refiere un artículo de la BBC: “Lo que Gödel hizo era (sic) usar matemáticas para probar que las matemáticas no podían probar todas en matemáticas”. De esta premisa se deduce, entonces, que existen verdades, matemáticas y de otro tipo, que pese a ser ciertas, no pueden ser probadas.
La prueba de Gödel utilizó la lógica modal (que distingue entre verdades necesarias, la que es verdadera en todos los mundos posibles, y las verdades contingentes, que es cierta en nuestro mundo, pero puede ser falsa en otro) y empleó en la definición de Dios una cuantificación explícita sobre sus propiedades, es decir, dado que la existencia necesaria es positiva, se concluye: ser como Dios es positivo. Además, la semejanza con Dios es una esencia de Dios, porque implica todas las propiedades positivas, y cualquier propiedad no positiva es la negación de alguna propiedad positiva, por lo tanto, Dios no puede tener ninguna propiedad no positiva. Como cualquier objeto semejante a Dios es necesariamente existente, entonces cualquier objeto semejante a Dios en un mundo, lo es en cualquier otro mundo, por la definición de existencia necesaria.
Por supuesto, la comprensión de estos axiomas u razonamientos no son de fácil comprensión para el ciudadano común, aunque lo que quería Gödel, después de morir en 1978, era dejar tras de sí una teoría basada en los principios de la lógica modal que sugería que un ser superior debe existir. Este razonamiento matemático no tenía como intención convencer de la existencia de Dios, sino demostrar que el llamado “argumento ontológico” de la existencia de Dios era válido. Los detalles de las matemáticas involucradas en la prueba ontológica de Gödel son ciertamente complicados pero, en esencia, lo que el sabio austríaco sostenía era lo siguiente: “Dios, por definición, es lo más perfecto que puede ser pensado. Si pensáramos en Dios como inexistente, entonces no sería realmente la idea de Dios, pues tendría la imperfección de no existir. Entonces, la oración ‘Dios existe’ es necesariamente verdadera. Por lo tanto, Dios existe”.
O bien: “Por definición, Dios es aquello de lo cual nada mayor puede concebirse. Por tanto, es imposible concebir que Dios no existe, pues de lo contrario podríamos concebir algo mayor que él, a saber, un Dios que sí exista. Así pues, es inconcebible que Dios no exista; luego existe.” Por lo pronto, recientemente, dos científicos europeos, el alemán Christoph Benzmüller, de la Universidad Libre de Berlín, y el austriaco Bruno Woltzenlogel, de la Universidad Técnica de Viena, lograron probar informáticamente el “Teorema de Dios” desarrollado a finales del siglo pasado por el matemático austriaco Kurt Gödel, que concluía que en base a los principios de la lógica debía existir un ser superior.
Si bien los científicos demostraron, usando una mayor lógica modal y un ordenador MacBook, que la argumentación de Gödel era matemáticamente correcta, aclararon que la verdadera noticia tenía que ver con la demostración de que una tecnología superior puede ayudar a la ciencia, más que con la teoría de que Dios exista o no. “Lo que se ha logrado a través de los computadores supone un éxito del genial razonamiento de Gödel. La prueba ontológica era, más que cualquier otra cosa, un buen ejemplo de algo inaccesible en las matemáticas o de la inteligencia artificial, que se ha resuelto usando la tecnología actual. El hecho de que la formalización de estos teoremas complicados se pueda realizar con computadores no profesionales abre todo tipo de posibilidades. Por eso, es totalmente increíble que el Teorema de Gödel se pueda probar de forma automática en pocos segundos o incluso menos apretando unas teclas y usando un ordenador portátil estándar». Los críticos del “Teorema de Dios” de Gödel, por lo pronto, esgrimen que es imposible enjuiciar una demostración tan abstracta, pues incluso muchos lógico-matemáticos no han sido capaces de explicar todos los aspectos de esta prueba, y por lo tanto es muy difícil asegurar su completa naturaleza. Otros, en tanto, afirman que los cinco axiomas de la prueba de Gödel son cuestionables. De ese modo, si los axiomas de la prueba pueden ser cuestionados, entonces las conclusiones también pueden ser cuestionadas.
Gödel Batalló durante toda su vida contra sus problemas de salud física y mental. Confesó en 1969 que no era capaz de entender el trabajo de los nuevos lógicos; la enfermedad iba cobrando su peaje. Años más tarde, llegó a estar convencido de que estaba siendo envenenado. Para evitar esto, dejó de comer y acabó muriendo por inanición el 14 de enero de 1978
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